Die Multiplikation des Archimedes - Ein Rechenr

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momis99
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Die Multiplikation des Archimedes - Ein Rechenrätsel

Beitragvon momis99 » 23. Feb 2013 20:08

Neulich hat uns unser Mathelehrer eine recht nette Rechenart gezeigt, die sich - s.o. - "Multiplikation des Archimedes" nennt. Mit ihr hat der frühe Philsosoph und Mathematiker Achimedes Multiplikationen (Wer hätte das gedacht? :D) gelöst. Das Ganze lief folgendermaßen:

Man nehme eine einfache Multiplikation mit zweimal zwei Stellen, hier

25*32

Nun halbiert man die erste Zahl, bis 1 herauskommt, wobe beim Halbieren immer die kleiner Zahl genommen wird, falls ein Komma auftritt. Also nun:

25 | 32
12 | 32
06 | 32
03 | 32
01 | 32

Bemerkung: Das * wurde aus Platzgründen weggelassen, und die Trennstriche dienen der Orientierung.

Nun verdoppelt man die zweite Zahl so oft, wie man die Erste halbiert hat, also:

25 | 32
12 | 64
06 | 128
03 | 256
01 | 512

Jetzt folgt der nächste, seltsame Schritt: Damals waren alle geraden Zahlen böse, und wenn zwei von ihnen nebeneinander standen, ging das gar nicht in Ordnung. Also hat man sie durchgestrichen:

25 | 32
12|32
06|128
03 | 256
01 | 512

Zählt man nun alle nicht durchgestrichenen Zahlen der rechten Spalte zusammen ( 32+256+512), so erhält man das Ergebnis - 800.



Herausgefundenes:

* (Bereits in der Schule) Wenn ein gerader Faktor zu Beginn vorkommt, dann muss er auf der rechten Seite sein. Das zeigt folgendes Beispiel:

22 | 31....................22 | 31 ....................22 | 31
11 | 31....................11 | 62 ....................11 | 62
05 | 31....................05 | 124...................05 | 124
02 | 31....................02 | 248................02|248
01 | 31....................01 | 496...................01 | 496

Nun: 31+62+124+496=713
22*31 = 682



Worauf kann man noch kommen?
Wieso funktioniert es?
Welche Regeln gelten?

PS: Ich wusste nicht, wie man Dinge durchstreicht, also mussten Bindestriche herhalte...Wenn das jmd fixen kann, nur zu.
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Re: Die Multiplikation des Archimedes - Ein Rechenrätsel

Beitragvon HaWe » 27. Apr 2013 09:09

hallo,
zufällig bin ich jetzt wieder auf deinen schon älteren Post gestoßen.
Es erinnert mich an einen Satz aus der Zahlentheorie.
Danach kann jede beliebige Zahl als Summe von Faktoren mit Vielfachen von Primzahl-Potenzen geschrieben werden.

Eine solche Primzahl ist ja z.B. auch die 2,
also lässt sich eine beliebig Zahl n als Summe von Faktoren ai*2i schreiben.
n = a0*20 + a1*21 + a2*22 + a3*23 + ...

Durch das schrittweise dividieren des 1. Faktors durch 2 ermittelst du im Prinzip, wie hoch die höchste 2er Potenz maximal ist, die enthalten ist.
Durch das schrittweise wiederholte Multiplizieren des 2. Faktors mit 2 erhält man dann die Summanden als Vielfache von 2er Potenzen.

In deinem Fall ist die Zahl n (die Summe) also das gesuchte Multiplikationsergebnis, und die einzelnen Summanden ai*2i entsprechen dem, was man aus den zweiten Faktoren durch schrittweises Multiplizieren mit 2 macht.
Deine ai sind dabei manchmal = deinem 2. Faktor, und manchmal sind sie Null (wenn sie rausfallen).

Ich habe daraufhin jetzt mal gegoogelt und habe das Stichwort dazu gefunden: es heißt p-adische Entwicklung ( p steht für Primzahl).

Genauer kann ich es dir nicht sagen, es ist nur eine vage Idee, aber ich vermute, der Algorithmus geht in diese Richtung.

Der Rest ist was zum Erklären für Tüftler oder Hochschul-Mathematiker 8-)

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Re: Die Multiplikation des Archimedes - Ein Rechenrätsel

Beitragvon momis99 » 27. Apr 2013 14:12

muss ich dann den Faktor a kennen, um die Gleichung zu lösen?

Und wieso als Summe? ISt doch ein * dazwischen, ist das dann keine Multiplikation?

Hört sich jetzt zwar vllt doof an, aber ich blick nicht durch :?
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Re: Die Multiplikation des Archimedes - Ein Rechenrätsel

Beitragvon HaWe » 27. Apr 2013 15:55

die ai sind dein 2. Ausgangfaktor, bei 25*32 also die 32.
Wenn sie rausfallen, sind die ai = 0.

und dann summierst du doch auf!
in deinem obigen eigenen Beispiel

25 * 32 =

32*20 + 0*21 + 0*22 + 32*23 + 32*24

32 + 256 + 512

= 800



natürlich ist klar, dass 20 + 23 + 24 gerade die binäre Zerlegung der Zahl 25 ist!

jetzt musst du aber jemand anderes fragen, z.B. warum man anfangs einfach beim Dividieren, sobald Kommazahlen auftreten, abrunden darf.
und warum die Zwischenglieder mit a1*21 und a2*22 herausfallen, wenn die ai gerade Zahlen sind.
Böse Zahlen gibt's ja nicht, das kann nicht der mathematische Grund sein, warum man sie dann einfach rausstreicht.
Ebenfalls noch zu zeigen: warum es NICHT funktioniert, wenn der 1. Faktor eine gerade Zahl ist.
Gruß,
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Re: Die Multiplikation des Archimedes - Ein Rechenrätsel

Beitragvon momis99 » 27. Apr 2013 16:27

ich glaub ich werde das alles ausdrucken und meinem mathelehrer zeigen, wenn ich darf :DD
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Re: Die Multiplikation des Archimedes - Ein Rechenrätsel

Beitragvon HaWe » 27. Apr 2013 17:14

das ist zwar alles sehr stümperhaft, was ich da bisher hingeschrieben habe, aber von mir aus... :)

ps: habe oben in meinem 1. Antwort-Post noch einen Schreibfehler korrigiert und es nochmal ergänzt.
und jetzt auch nochmal den darauf folgenden Post ergänzt, damit es klarer wird.
Gruß,
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Re: Die Multiplikation des Archimedes - Ein Rechenrätsel

Beitragvon momis99 » 27. Apr 2013 17:24

danköö, ich werd sehn was er sagt^^
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Re: Die Multiplikation des Archimedes - Ein Rechenrätsel

Beitragvon HaWe » 27. Apr 2013 18:01

bitte, gerne!..
...
wenn ich jetzt so drüber nachdenke, lässt sich eigentlich dieses ganze Schema in noch viel einfachere Worte fassen und auf die Frage reduzieren:

wie erhalte ich eine korrekte binäre (= 2-adische) Zerlegung (Summe von 2er-Potenzen) des 1. Faktors (bei dir: 25), um sie dann anschließend einfach einzeln mit dem 2. Faktor (bei dir: 32) zu multiplizieren?

(20 + 23 + 24 ) * 32


2^Exp.
2^0 | 25 | 32
2^1 | 12|32
2^2 | 06|128
2^3 | 03 | 256
2^4 | 01 | 512

20*32 + 23*32 + 24*32
= 32 + 256 + 512
= 800
Gruß,
HaWe
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